Kropp (matematikk)   

I matematikken betegner en kropp (på engelsk field) en mengde av «tall» hvor man kan utføre operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.

Definisjon

En kropp er en mengde K med to operasjoner: Addisjon + : K x K → K og multiplikasjon · : K x K → K. Notasjonsmessig skriver man ofte ab i stedet for a·b. Disse to operasjonene tilfredsstiller

Kommutativitetα + β = β + α og αβ = βα for alle α, β ∈ K
Assosiativitetα + (β + γ) = (α + β) + γ og α(βγ) = (αβ)γ' for alle α, β, γ ∈ K
IdentiteterDet finnes elementer 0, 1 ∈ K, 0 ≠ 1, slik at 0 + α = α og 1α = α for alle α ∈ K
InversFor hvert element α ∈ K finnes det et element (-α) ∈ K slik at α + (-α) = 0. For alle β ≠ 0 ∈ K, finnes det et element β-1 ∈ K slik at β β-1 = 1.
Distributivitetα(β + γ) = αβ + αγ for alle α, β, γ ∈ K

Med andre ord, en kropp er en kommutativ ring der alle elementene er inverterbare.

Eksempler

  • De rasjonale tallene \mathbb{Q}, de reelle tallene \mathbb{R} og de komplekse tallene \mathbb{C} er kropper.
  • De hele tallene \mathbb{Z} er ikke en kropp siden ingen tall unntatt -1 og 1 har en invers.
  • For hvert primtall p er heltallene modulo p en kropp \mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\{0,1,2,\ldots,p-1\}. Dette er en endelig kropp.
  • For hvert primtall p gir p-adisk komplettering av de rasjonale tallene kroppen \mathbb{Q}_p av p-adiske tall.